Pirâmide

INTRODUÇÃO A PIRÂMIDE

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirâmide

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

• Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
• Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
• Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
• Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
• Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
• Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
• Apótema: É a altura de cada face lateral.
• Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
• Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Classificação das pirâmides pelo número de lados da base:

• Base quadrada
• Base hexágono
• Base pentágono
• Base triângulo

Área Lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.

Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12 A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral.

Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base.

Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim 

r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:

(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A área da face e a área lateral, são dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]
A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324

Concluímos que:

A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m²
A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³

Logo, a área total da barraca é

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.
2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.
3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais. 

• V(seção): Volume da seção até o vértice (volume da pirâmide menor) 
• V(piram): Volume da pirâmide (maior)
• A(seção): Área da seção transversal (base da pirâmide menor)  
• A(base): Área da base da pirâmide (maior)
• h: Distância do vértice à seção (altura da pirâmide menor)  H: Altura da pirâmide (maior) 

Assim:

V(seção) V(base)

=

A(seção) A(piram)

·

h H

A(seção) A(base)

=

h² H²

Então:

V(seção) V(base)  = h³ H³

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³

V(pirMenor)/108 = 6³/9³

V(pirMenor) = 32

então

V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³