Determinantes

DEFINIÇÃO

Sendo A uma matriz de ordem n, pertencente ao conjunto das matrizes quadradas de elementos reais, chama- se determinantes de A, representado por det A ao número que se pode obter operando com os elementos.

Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .

É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .

A toda matriz quadrada A = (a_ij)_mxn de elementos reais de ordem n está associado um único número real chamado determinante da matriz A.

O determinante de uma matriz é o número obtido depois que seus elementos passam por operações.

Indicamos esse número por det A, e os elementos de A são dispostos entre duas barras verticais.

Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem 

Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

·         O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :

·         det (A) = ½ A½ = ad - bc

Exemplo:

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen²x + cos²x = 1 ( Relação Fundamental daTrigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.

Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).

SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS(1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.

Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira - da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade. 

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:

1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.

2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.

3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.

Exemplo:

.2				3				5
.1				7				4

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.

Exemplos:
1) Qual o determinante associado à matriz?

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO

2) Calcule o determinante:

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.

3) Calcule o determinante:

Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90

EXERCÍCIO PROPOSTO

1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde A^t  é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:

a) 1/5

b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20

2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j .
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:

Resp: n = 4

3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )_{3 X 3} , onde
aij = i + j se i ³ j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?

Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82

4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:

Resp: zero