Geometria Espacial

INTRODUÇÃO

A Geometria espacial  funciona como uma ampliação da Geometria plana e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera.
Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em algum objeto na nossa realidade, como:

• Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos.
• Cone: casquinha de sorvete.
• Cilindro: cano PVC, canudo.
• Esfera: bola de isopor, bola de futebol.

Cilindro

INTRODUÇÃO AO CILINDRO

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

A Construção de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um cilindro

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

• Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
• Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
• Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
• Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
• Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
• Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
• Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
• Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

   Volume de um cilindro

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = A(base) h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:

V = pi r² h

Área lateral e área total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) A(total) = 2 pi r h + 2 pi r² A(total) = 2 pi r(h+r)

  

Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi r² A(base) = pi r² A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r² Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³

Cone

INTRODUÇÃO AO CONE

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

• Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
• Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
• Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
• Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
• Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
• Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
• Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos:

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = pi.r.g

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)

Cones equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por:

A(base) = pi r²

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:

h = r √3

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) pi √3r³

Como a área lateral pode ser obtida por:

A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²

então a área total será dada por:

A(total) = 3 pi r²

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1.  A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

sen(60^o) = h/20
(1/2)  = h/20
h = 10 R[3] cm
V = (1/3) A_base h
V = (1/3) Pi r² h
(1/3) Pi 10² 10 = (1/3) 1000 Pi cm³

r = 10 cm; g = 20 cm
A_lat = Pi r g = Pi 10 20 = 200 Pi cm²
A_total = A_lat + A_base
A_total = Pi r g + Pi r² = Pi r (r+g)
A_total = Pi 10 (10+20) = 300 Pi cm²

2.  A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

sen(60^o) = R/2
(1/2)  = R/2
R = cm

g² = h² + R²
2² = h² + 3
4 = h² + 3
h = 1 cm

V = (1/3) A_base h = (1/3) Pi R² h = (1/3) Pi 3 = Pi cm³

3.  Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c e a sua area mede 2 m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 Pi m³. Determine o comprimento do cateto c.

Como a área do triangulo mede 2 m², segue que

(1/2) b c = 2

implicando que

b.c=4

V =(1/3) A_base h
16 Pi = (1/3) Pi R² b
16 Pi = (1/3) Pi c c b
16 = c(4/3)
c = 12 m

4.  As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

h_prisma = 12
A_{base do prisma} = A_{base do cone} = A
V_prisma = 2 V_cone
A h_prisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h=18 cm

5- Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

 

V = V_cilindro - V_cone
V = A_base h - (1/3) A_base h
V = Pi R² h - (1/3) Pi R² h
V = (2/3) Pi R² h cm³