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quinta-feira, 1 de dezembro de 2011

Cone


INTRODUÇÃO AO CONE

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

  • Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
  • Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
  • Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
  • Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
  • Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
  • Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
  • Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
  • Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.


Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos:

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):
A(lateral) = pi.r.g
A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):
A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)


Cones equiláteros
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.


A área da base do cone é dada por:
A(base) = pi r²
Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:
h = r √3
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:
V = (1/3) pi √3r3
Como a área lateral pode ser obtida por:
A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²
então a área total será dada por:
A(total) = 3 pi r²


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


1.  A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

b_115_180_16777215_0___images_stories_matematica_cone_08.gif
sen(60o) = h/20
(1/2)  = h/20
h = 10 R[3] cm
V = (1/3) A
base h
V = (1/3) Pi r
2 h
(1/3) Pi 10
2 10 = (1/3) 1000 Pi cm3




b_115_180_16777215_0___images_stories_matematica_cone_09.gif
r = 10 cm; g = 20 cm
A
lat = Pi r g = Pi 10 20 = 200 Pi cm2
A
total = Alat + Abase
A
total = Pi r g + Pi r2 = Pi r (r+g)
A
total = Pi 10 (10+20) = 300 Pi cm2







2.  A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume?

b_281_186_16777215_0___images_stories_matematica_cone_10.gifsen(60o) = R/2
(1/2)  = R/2
R = cm
g2 = h2 + R2
2
2 = h2 + 3
4 = h
2 + 3
h = 1 cm

V = (1/3) Abase h = (1/3) Pi R2 h = (1/3) Pi 3 = Pi cm3


3.  Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c e a sua area mede 2 m2. O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 Pi m3. Determine o comprimento do cateto c.
Como a área do triangulo mede 2 m2, segue que


b_282_184_16777215_0___images_stories_matematica_cone_11.gif

(1/2) b c = 2

implicando que
b.c=4
V =(1/3) Abase h
16 Pi = (1/3) Pi R
2 b
16 Pi = (1/3) Pi c c b
16 = c(4/3)
c = 12 m




4.  As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

hprisma = 12
A
base do prisma = Abase do cone = A
V
prisma = 2 Vcone
A h
prisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h=18 cm





5- Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?


 
b_222_250_16777215_0___images_stories_matematica_cone_12.gif

V = Vcilindro - Vcone
V = A
base h - (1/3) Abase h
V = Pi R
2 h - (1/3) Pi R2 h
V = (2/3) Pi R
2 h cm3




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