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quinta-feira, 1 de dezembro de 2011

Cão Geômetra


O CÃO GEÔMETRA



Um cachorro da raça labrador, chamado Beau, virou sensação entre os moradores de uma cidade de Montana (EUA) por conta de suas habilidades matemáticas.
Segundo David Madsen, o dono do esperto cachorro, Beau não apenas faz contas de adição e subtração, como também consegue calcular a raiz quadrada do número nove, por exemplo. Basta perguntar para ouvir a resposta – cada latido equivale a um número.
- Ele conta, soma e subtrai, consegue fazer algumas operações de divisão e tem memorizado as raízes quadradas.
Madsen, segundo reportagem publicada no site da rede norte-americana NBC, disse tentar manter as contas até dez. Garantiu, ainda, que não sopra nenhum resultado para o cão e que dá um petisco para cada acerto do pet.
O executivo aposentado adotou Beau há 12 anos e começou a ensinar ao animal de estimação algumas noções básicas de matemática quando percebeu alguns sinais de que o pet era muito inteligente.
Madsen afirmou que Beau criou jogos e estratégias para evitar ser pego quando faz algo errado.
- Tive cães minha vida toda, mas esse aqui é diferente. Ele é super-inteligente.

Gauss


GAUSS: O PEQUENO GÊNIO


Quem não nunca ouviu falar de um caso que se conta sobre Carl Friedrich Gauss (1777 à 1855)?
Quando era aluno do ensino básico seu professor, J. G. Büttner, deu como exercício para ser resolvido na aula, calcular a soma dos 100 inteiros, 1, 2, 3, … , 100. Mal o professor acabara de enunciar o exercício, o jovem Gauss levantou-se e colocou sua resposta na mesa do professor, dizendo: aqui está! Tinha escrito um único número no papel: o número 5050.
O professor ficou muito admirado e quis naturalmente saber como é que Gauss tinha encontrado tão rapidamente aquele resultado. Gauss disse-lhe ter observado que:
1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 50 + 51 = 101.
Assim, o conjunto dos números dados poderia considerar-se formado por 50 grupos de dois números cuja soma é 101. Como consequência, a soma dos 100 números considerados é igual a 101 x 50, ou seja, 5050, “resultado que obtive por simples cálculo mental”.
A observação do jovem aluno Gauss permitiu transformar aquela soma de 100 parcelas num simples produto de dois fatores, 101 x 50. Gauss tinha apenas 10 anos.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ...


1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... É UM QUADRADO PERFEITO


No post abaixo aparece uma outra forma de calcular n²(sendo n Natural não nulo): fazendo a soma dosn primeiros números ímpares.
Observem os exemplos abaixo:
1² = 1
2² = 1 + 3 = 4
3² = 1 + 3 + 5 = 9
4² = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
5² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
6² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
7² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
8² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64
9² = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
Não é a forma mais rápida de fazer o quadrado de um número, mas também funciona.


Descoberta de Thébault


A DESCOBERTA DE THÉBAULT

Vejam esse pares de quadrados perfeitos e suas respectivas raízes:
·         - 144 e 441 tem 12 e 21 como raízes;
·         - as raízes de 169 e 961 são 13 e 31;
·         - e 14884 e 48841 apresentam 122 e 221 como raízes.

Perceberam que os números são formados pelos mesmos algarismos, porém escritos em ordem inversa?
O matemático Thébault investigou os pares que têm esta curiosa propriedade. Encontrou, por exemplo, a seguinte dupla: 1.238.769 e 9.678.321. Suas raízes são 11132 e 31112.

Ah, o amor


AH, O AMOR

“Às folhas tantas do livro de matemática,
um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a, do ápice à base.
Uma figura ímpar olhos romboides, boca trapezoide, corpo ortogonal, seios esferoides.
Fez da sua uma vida paralela a dela até que se encontraram no infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele com ânsia radical.
“Eu sou a soma dos quadrados dos catetos, mas pode me chamar de hipotenusa”.
E de falarem descobriram que eram o que, em aritmética, corresponde a almas irmãs, primos entre si.
E assim se amaram ao quadrado da velocidade da luz numa sexta potenciação traçando ao sabor do momento e da paixão retas, curvas, círculos e linhas senoidais.
Nos jardins da quarta dimensão, escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidianas e os exegetas do universo finito.
Romperam convenções Newtonianas e Pitagóricas e, enfim, resolveram se casar, constituir um lar mais que um lar, uma perpendicular. Convidaram os padrinhos: o poliedro e a bissetriz, e fizeram os planos, equações e diagramas para o futuro, sonhando com uma felicidade integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones muito engraçadinhos e foram felizes até aquele dia em que tudo, afinal, vira monotonia.
Foi então que surgiu o máximo divisor comum, frequentador de círculos concêntricos viciosos, ofereceu-lhe, a ela, uma grandeza absoluta e reduziu-a a um denominador comum. Ele, quociente percebeu que com ela não formava mais um todo, uma unidade.
Era o triângulo tanto chamado amoroso desse problema, ele era a fração mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a relatividade e tudo que era espúrio passou a ser moralidade, como, aliás, em qualquer Sociedade…”
Millôr Fernandes

Poema matemático


POEMA MATEMÁTICO DE ANTÔNIO CARLOS JOBIM

“Pra que dividir sem racionar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você
Por uma fração infinitesimal
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal
Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão
Para finalizar vamos recordar
Que menos por menos dá mais, amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto dois corações se integrar
Se desesperadamente, incomensuravelmente
Eu estou perdidamente apaixonado por você.

Poesia das equações


A POESIA DAS EQUAÇÕES



Uma equação é fogo para se resolver
é igualdade difícil e de grande porte
é necessário saber todas as regras
e ter até uma boa dose de sorte.
A primeira coisa a ter em conta
quando se olha uma equação
é ver se tem parênteses,
é que umas têm outras não.
Se tiver, é por ai que tudo deve começar.
Sinal “+” antes: fica tudo igual.
Mas tudo o que vem a seguir se deve trocar
se antes do parênteses o “-” for o sinal.
A seguir…alerta com os denominadores!
Todos têm que ter o mesmo para se poder avançar.
Os sinais negativos antes de frações
são degraus onde podem tropeçar.
É preciso não esquecer nenhum sinal
e estar atento ao coeficiente maroto
e se um termo não interessa de um lado
muda-se o sinal e passa-se para o outro.
Quando a incógnita estiver sozinha
podemos então dar a tarefa por finda. E então,
sem nunca esquecer o que foi feito
escreve-se o conjunto solução.

Matemática do amor


MATEMÁTICA DO AMOR

Queres saber o quanto te amo?
Po
is prepara-te, que vou te ensinar.
O cálculo do amor, com duas operações se dá.
Adição e multiplicação, com elas é que vamos calcular.
Pegue lápis e papel.
Estás pronta pra começar?
Tome nota, porém não vacile
Nos detalhes que vou lançar.
Vamos começar pela adição.
Comece a somar todas as estrelas do infinito céu.
Ao terminar, adicione ao produto de seu esmero
O valor correspondente aos grãos de areia das praias do mundo inteiro.
Anote tudo, grave os dados no papel.
Terminaste o primeiro passo?
Não acabou ainda tua lição.
Inda falta uma parte para concluir a operação.
Multiplique o valor que tens à totalidade de gotas
Que formam o vasto oceano.
Estamos quase no fim, falta pouco para a conclusão.
O resultado final que obtiveste, é o que procuras.
Tens nas mãos a dimensão expressa.
Este número que tens (ou imaginas) é a resposta à tua indagação.
Tens – em quilômetros – do meu amor a dimensão.
Quero fazer, por fim, uma observação:
Grãos de areia, gotas de oceano e estrelas do céu não são passíves de números,
Pois o seu valor é de irreal inquisição,
Por ninguém poderia ser mensurado.
Logo, o tamanho do meu amor por você
E impossível de ser calculado.
Wesley Henrique Gonçalves

Ímpar - Par


Irracional


1969 - 2009


Cubo mágico


Será a matemática uma religião?





Matrizes


UM POUCO DA HISTÓRIA

Aproximadamente no ano  a. C., foi escrito na China o livro Chui- Chang Suan- Shu ( em português , Os nove capítulos da arte matemática), de autor desconhecido. Essa obra trata de  problemas sobre a mensuração de terras, impostos, equações etc. Um dos problemas apresenta sistema de equações do 1º grau:
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
X + 2y + 3z = 26

Nesse blog, o sistema é resolvido por meio de operações efetuadas com os elementos da seguinte tabela:
 1       2       3
 2       3       2
 3       1       1
26     34     39

Atualmente, essa tabela é chamada de matriz. Esse é um dos registros mais antigos sobre matrizes, o que nos leva a crer que o estudo das matrizes teve como motivação inicial a necessidade de resolver sistemas do 1º grau.


Definição de matriz

Chama- se matrizes do tipo m X n (lê- se: "m por n") toda tabela de números dispostos em m linhas se n colunas. Tal tabela deve ser representada entre parênteses (   ), entre colchetes [   ] ou entre barras duplas ||   ||.
Observação: cada elemento é indicado por 
aij,  
onde i indica a linha e j a coluna às quais 
aij 
 pertence.
Matriz A= (aij), 1  i  m        e      1  j n


O estudo das matrizes deve ser considerado de grande importância, constituindo numa importante ferramenta da Matemática presente em áreas relacionadas aos cálculos, como a Engenharia, a Informática e outras. Nos estudos estatísticos, as matrizes constituem tabelas que objetivam por organizar os dados distribuídos por linhas e colunas.

Definições de Matrizes


DEFINIÇÕES BÁSICAS SOBRE MATRIZES
  • Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
  • Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
  • Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
  • Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
  • Matriz quadrada: é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
  • diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
  • a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)

    • Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
    • Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
    • Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
    • Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
    • Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
    • Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Linha, Coluna e Fila


  • Numa matriz a linha é a ênupla de elementos com o mesmo primeiro índice. 
    Exemplo
    A terceira linha de uma matriz A = (aij)3x4 é:



  • Numa matriz a coluna é a ênupla de elementos com o mesmo segundo índice.
    Exemplo
    A segunda coluna de uma matriz A = (aij)3 x 3 é:



  • A fila de uma matriz é a linha ou a coluna.

  •  - Chamamos de quadrada a matriz Am x n se o número de linhas for igual ao número de colunas.
    Exemplo


           - Chamamos de retangular a matriz Am x n se o número de linhas é for diferente do número  de colunas. 
        Exemplo


Classificação das Matrizes


Matriz Identidade 

É a matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1.
A matriz quadrada A = (aij)n x n definida por:


Recebe o nome de matriz identidade de ordem n, simbolicamente representada por In.
Portanto:

 

Matriz Oposta

A matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos correspondentes ao da matriz A.

A matriz oposta de A = (aij)m x n é a matriz – A = (– aij) m x n.

Exemplo:

 


Matriz Tranposta

Para obter- se a matriz transposta basta trocarem- se ordenadamente as linha pelas colunas.










Matriz Nula
É uma matriz m x n cujos elementos são todos nulos.

A matriz nula é indicada por 0m x n.


Exemplos: